第四课：计算机中数的表示及运算

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第四课：计算机中数的表示及运算

数字：
    谈到数字，有很多同学可能会觉的很可笑，数字？不就是1234……..这些吗？是的，在日常的生活当中，我们用的一般都是十进制，但在计算机中，它只能识别二进制数，所以在这里我还得跟大家共同分析一下：
1、十进制：
    十进制就是基数为“十”，所使用的数码为0~9共10个数字。逢十进一。是我们每天都会运用到的，在这里就不多谈了。
2、二进制：
    二进制的基数为“二”，其使用的数码只有0和1两个。在计算机中容易实现，在常用的的实现方式中如：可以用电路的高电平表示1，低电平表示0；或者三极管截止时集电极的输出表示1，导通时集电极输出表示0。
3、十六进制：
    由于二进制位数太长，不易记忆和收写，所以人们又提出了十六进制的书写形式。我们在汇编语言中多数用十六进制。

二进制,十进制,十六进制数码对照
十进制	8421BCD码	二进制	十进制	8421BCD码	二进制
1	1	0001	10	A	1010
3	3	0011	12	C	1100
5	5	0101	14	E	1110
7	7	0111	16	10	10000

    计算机只识别和处理数字信息，数字是以二进制数表示的；它易于物理实现，同时，资料存储、传送和处理简单可靠；运算规则简单，使逻辑电路的设计、分析、综合、方便，使计算器具有逻辑性。
一、 用数制及转换
1、各种进位计数及其表示方法
数字符号：0、1、2、……9 ——数码。数码的个数——基数。
进位规则：逢十进一
例如，十进制数，10个数码；采用“逢十进一”
30681 = 3×104+0×103+6×102+8×101+1×100
例如，二进制数，2个数码，采用“逢二进一”
（11010100）2 = 1×27+1×26+0×25+1×24+0×23+1×22+0×21+0×20
总之，N进制数，N个数码，“逢N进一”
2、数制之间的转换
    任意进制之间相互转换，整数部分和小数部分必须分别进行，
十进制转换成二进制——短除取余法

十进制小数转换成二进制小数——乘2取整法。
二进制转换成十进制——展开求和法。
（101101）2 = 1×25+0×24+1×23+1×22+0×21+1×20
= 32+0+8+4+0+1
= 45
二进制转换成八进制、十六进制与此类似。

二、 机器数及其编码

1、 机器数与真值
机器只认识二进制数：0、1。
这是因为，电路状态常有两个，如通、断；高电平、低电平；…可用0、1表示。
这种0、1、0、1…1在机器中的表现形式——机器数。一般为8位。

2、 机器数的编码及运算

    对带符号数而言，有原码、反码、补码之分，计算机内一般使用补码。

1） 原码
将数“数码化”，原数前“+”用0表示，原数前“-”用1表示，数值部分为该数本身，这样的机器数叫原码。
设X——原数；则[X]原 = X（X 0）
[X]原 = 2n-1 – X （X 0），n为字长的位数。
如，[+3]原 = 00000011B
[-3]原 = 27 - （-3） = 10000011B
0有两种表示方法：00000000 +0
10000000 -0
原码最大、最小的表示：+127、-128

2） 反码
规定正数的反码等于原码；负数的反码是将原码的数值位各位取反。
[X]反 = X （X 0）
[X]反 =（2n –1）+ X （X 0）
如，[+4]反 = [+4]原 = 00000100 B
[-4]反 = (28 –1)+(-5) = 11111111- 00000101 = 11111010 B
反码范围：-128 ~ +127
两个0； +0 —— 00000000 B
-0 —— 11111111 B
3） 补码
补码的概念：现在是下午3点，手表停在12点，可正拨3点，也可倒拨9点。即是说-9的操作可用+3来实现，在12点里：3、-9互为补码。
运用补码可使减法变成加法。
规定：正数的补码等于原码。
负数的补码求法：1）反码 + 1
2）公式：[X]补 = 2n + X （X<0）
如，设X = - 0101110 B ， 则[X]原 = 10101110 B
则[X]补 = [X]反 + 1 = 11010001 + 00000001 = 11010010 B
如，[+6]补 = [+6]原 = 00000110 B
[-6]补 = 28 + （-6） = 10000000 – 00000110 = 11111010 B
8位补码的范围 –128 ~ +127。
0 的个数：只一个，即00000000
而10000000 B是-128的补码。
原码、反码、补码对照表：表1-2 P10

4）补码的运算
当X≥0时，[X]补= [X]反=[X]原
[ [X]补]补 = [X]原
[X]补+ [Y]补 = [ X+Y ]补
[ X-Y ]补= [ X+（-Y）]补
例：已知 X=52 Y=38 求X-Y

计算机在做算术运算时，必需检查溢出，以防止发生错误

5）运算的溢出问题

    资料字长（位数）有一定限制，所以资料的表示应有一个范围。
如字长8位时； 补码范围-128~+127
若运算结果超出这个范围，便溢出。
例：

错：两个负数相加和为正数。
可见：结果正确（无溢出）时，Cs+1 = Cs
结果错误（溢出）时，Cs+1 ≠ Cs
溢出判断：溢出 = Cs+1 Cs（即结果是0为无溢出；1为有溢出）

1、 十进制数的编码
对机器：二进制数方便，
对人 ：二进制数不直观，习惯于十进制数。
在编程过程中，有时需要采用十进制运算，但机器不认识十进制数。
怎么办？
可以将十进制的字符用二进制数进行编码：

这叫做二进制数对十进制编码——BCD码。
上述每4位二进制数表示一个十进制字符，这4位中各位的权依次是：
8、4、2、1——8421 BCD码。
BCD码的运算：

（1）BCD码加法规则
两个BCD数相加时，“某位”的和小于10则保持不变；
两个BCD数相加时，“某位”的和大于9，则和数应加6修正。
（2）BCD码减法规则
两个BCD数相减时，“某位”的差未发生借位，则差数保持不变；
两个BCD数相减时，“某位”发生了借位，其差应减6修正。
这里“某位”指BCD数中的“个位”、“十位”、“百位”、……

三、 字符信息的表示
计算机能识别0、1、0、1、……；这些0、1、0、1、……有的代表
数值，有的仅代表要处理的信息（如字母、标点符号、数字符号等文字符号），所以，计算机不仅要认识各种数字，还要能识别各种文字符号。人们事先已对各种文字符号进行二进制数编码：
如，美国信息交换标准码——ASCII码，用一个字节表示一个字符。
低7位是字符的ASCII码值；最高位是通信时的校验位。

思考题：真值与码值有何区别？原码、反码、补码三者之间如何换算？